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式中：为空间电角度；为转子极弧角度；为转子位置角；i1,2,3…；系数a、b为

式中：g0为电机气隙长度；gmax为等效气隙长度，gmaxg0hm；hm为永磁体厚度。

对于多相无轴承电机，根据其多个正交平面的特性，可将绕组函数的1、2次谐波函数N1和N2分别等效为转矩(悬浮)绕组和悬浮(转矩)绕组的相串联匝数[14]。因此，倒气隙函数仅需考虑前3项即可。由式(1)，将2-4型与4-2型内置式永磁无轴承电机的倒气隙函数重写如下：

当转子偏心时，2-4型与4-2型内置式永磁无轴承电机的倒气隙函数可写为

式中：为转子轴心相对于坐标系的机械偏心角，tan1(rr)，(rr)为转子偏心后转子中心在坐标系中的坐标值；为偏心率，rrgave，gave为等效气隙的平均值，gave(g0gmax)/2。由于在转子偏心时的数值很小，所以，式(5)中省略了的2次及以上高阶项，只保留了常数项与1次项。转子偏心使得电机气隙不均匀，则电感的计算需要采用改进绕组函数法[21]，其公式如下：

式中：为气隙磁导率；l为定子铁心长度；r为转子半径；Ni和Nj分别为i相和j相的绕组函数；算子<f>表示函数f在气隙圆周[0,2]上取平均值。

由式(6)可知，各电感是由倒气隙函数、偏心函数以及绕组函数的各次谐波组合而成。将这三种函数所含谐波次数列入表1，由三角函数的特性可以得出等效转矩绕组和等效悬浮绕组的自感及其相互之间的互感。表1中的各个数字1,2,4,8分别表示各函数含有的谐波次数，而0表示常数项。例如，[0,2,4]表示2-4型凸极转子的倒气隙函数中含有常数项、2次谐波和4次谐波，其它以此类推。另外，在表示各种自感和互感时，用了4位数字，其中，前两位数字表示倒气隙函数与偏心函数的谐波次数，后两位数字分别表示等效转矩(悬浮)绕组函数和等效悬浮(转矩)绕组函数的谐波次数。例如，2-4型凸极转子等效转矩绕组自感“0011+2011”表示该自感由两项组成，其中，“0011”项表示其由倒气隙函数常数项[0]、偏心函数常数项[0]以及两个等效转矩绕组函数[1]和[1]组成；“2011”项表示其由倒气隙函数2次谐波[2]、偏心函数常数项[0]以及两个等效转矩绕组函数[1]和[1]组成。再例如，4-2型凸极转子等效转矩绕组与等效悬浮绕组互感“0121+4121”表示该互感由两项组成，其中，“0121”项表示其由倒气隙函数常数项[0]、偏心函数基波[1]以及等效转矩绕组函数[2]与等效悬浮绕组函数[1]组成；“4121”项表示其由倒气隙函数4次谐波[4]、偏心函数基波[1]以及等效转矩绕组函数[2]与等效悬浮绕组函数[1]组成。其他以此类推。

从表1可以得出以下结论：

1）当不考虑偏心函数2次及以上高阶项时，绕组自感仅与偏心函数常数项有关，即绕组自感不随转子的偏心而发生变化；而互感与偏心函数基波有关；

2）2-4型内置式无轴承电机的等效悬浮绕组自感包含两项，而4-2型内置式无轴承电机的等效悬浮绕组自感仅有一项，表明其d轴悬浮自感与q轴悬浮自感相同，与隐极无轴承电机类似；

3）从各互感的组合项中可以看出，隐极无轴承电机的互感最为简洁，仅含1项；4-2型内置式无轴承电机的互感含2项；而2-4型内置式无轴承电机的互感最复杂，包含3项。

综上所述，随着倒气隙函数阶次的升高，其与等效转矩绕组和等效悬浮绕组的耦合项变为0，电感组合项减少。从本质上来说，是转子极数的增加削弱了凸极转子的各向异性。另外，由于悬浮能量储存于互感中，所以互感的繁杂程度也决定了悬浮力的复杂程度。

1.2凸极转子多相无轴承电机悬浮力模型由式(6)和表1可以得出2-4型和4-2型内置式永磁无轴承电机的电感解析模型。其中，2-4型内置式永磁凸极无轴承电机的电感解析模型为

式中：Ld1、Lq1分别为等效转矩绕组的直轴电感与交轴电感；Ld2、Lq2分别为等效悬浮绕组的直轴电感与交轴电感；Md1d2、Md1q2、Mq1d2与Mq1q2为等效转矩绕组与等效悬浮绕组的互感；x、y为同步旋转坐标系中的转子轴心径向位移。

各电感系数的解析式为

式中：m为电机相数；Lm1、L1分别为等效转矩绕组对应倒气隙函数的常数项与2次谐波的自感分量；Lm2、L2分别为等效悬浮绕组对应倒气隙函数的常数项与4次谐波的自感分量；M12_m、M12_和M12_为等效转矩绕组与等效悬浮绕组的互感系数，分别对应倒气隙函数的常数项、2次谐波与4次谐波的互感系数分量。

4-2型内置式永磁无轴承电机的电感模型为

4-2型与2-4型内置式永磁无轴承电机的电感系数不同之处在于，由于4-2型内置式永磁无轴承电机倒气隙函数谐波含有常数项、4次谐波和8次谐波，尽管L1的表达式与式(9)相同，但其表示等效转矩绕组对应倒气隙函数4次谐波的自感分量；同理，M12_的表达式与式(10)相同，但其表示等效转矩绕组与等效悬浮绕组的互感系数对应倒气隙函数4次谐波的互感系数分量。

根据电磁场虚位移原理，可以得出麦克斯韦悬浮力的解析模型，则2-4型和4-2型内置式永磁无轴承电机在转子转坐标系中的悬浮力模型分别为

110中国电机工程学报第33卷的等效励磁电流；id1、iq1为1对极悬浮磁场的悬浮电流；id2、iq2为2对极转矩磁场的转矩电流；if为4极永磁体的等效励磁电流。

由于电机实际运行中转子重力或外加径向负荷一般作用在坐标系中的某一静态方向上，所以需将悬浮力转换到坐标系中，可得

则2-4型和4-2型内置式永磁无轴承电机在坐标系中的悬浮力模型为

2电感和悬浮力解析模型在隐极无轴承电机中的应用

隐极无轴承电机是凸极无轴承电机的特殊情况，由表1可以看出，其电感矩阵较简单，这也将使悬浮力模型更加简洁。2-4型和4-2型表贴式永磁无轴承电机如图5、6所示。

此时，2-4型与4-2型表贴式永磁无轴承电机的倒气隙函数均仅剩下常数项：

则电感和悬浮力模型可以化简为

3有限元仿真与分析

本文对表1所示的4种电机模型分别进行了有限元仿真。电机参数如表2所示。为便于比较，4种模型所采用的定、转子及永磁体尺寸均相同。2-4型表贴式永磁无轴承电机的有限元模型如图7所示，其他3种样机的仿真模型除永磁体参数不同以外，其余参数与图7相同，转子模型可以分别参考图1、3、6。

由图7可以看出，5相绕组对称分布，相邻相间的电角度为72，每极每相槽数为6。为便于计算，将转子磁极与定子A相绕组轴线重合，其各电感值随转子位移的变化曲线如图8所示。可以看出，随着转子位移的变化，自感几乎没有变化，而互感则与转子位移成线性关系，与上文的分析相吻合。

对于2-4型表贴式永磁无轴承电机，4个互感的斜率绝对值相同，均为1.48H/m；而2-4型内置式永磁无轴承电机的4个互感的斜率分别为Md1d21.68，Md1q21.50，Mq1d23.87，Mq1q21.77，与表3中的解析解基本吻合。

对于4-2型永磁无轴承电机，由于等效转矩绕组函数N2小于等效悬浮绕组函数N1，使得转矩绕组电感小于悬浮绕组电感。另外，4-2型内置式永磁无轴承电机悬浮绕组的直轴电感与交轴电感相同，与式(12)相一致，如图8(d)所示。对于4-2型表贴式永磁无轴承电机，4个互感的斜率绝对值基本相同，分别为Md1d21.50，Md1q21.51，Mq1d21.40，Mq1q21.42；而4-2型内置式永磁无轴承电机的4个互感的斜率绝对值两两近似相同，分别为Md1d23.19，Md1q23.05，Mq1d21.64，Mq1q21.45，与表3中的解析解基本吻合。

不同悬浮电流角度下的悬浮力曲线如图9所示，图中Fs是F与F的合力。由图9可以看出，2-4型内置式永磁无轴承电机的悬浮力呈现2倍频振动，而其他3种类型电机的悬浮力均保持了稳定的幅值。这与2-4型内置式永磁无轴承电机各互感系数的不均衡有关，也说明了仅基频悬浮电流不能保持稳定的悬浮力。由式(16)可以看出，若将转子坐标系下的悬浮电流变换到坐标系，将出现3倍频的悬浮电流。这也表明，若保持稳定的悬浮力，悬浮电流需要同时注入基频分量与3倍频分量。

4试验验证与分析

从1.2节的分析结果可以看出，2-4型内置式永磁无轴承电机的电感与悬浮力最为复杂，需要相对较多且精确的互感系数，否则会影响电机的稳定悬浮；另外，尽管4-2型内置式永磁无轴承电机在相同悬浮电流下可以获得更大的悬浮力，但其转矩电感过小。兼顾转矩特性和高速特性，2-4型表贴式永磁电机更适合多相永磁无轴承电机的发展。所以，本文制造了一台5相2-4型表贴式永磁无轴承样机，如图10所示，其参数如表2所示。

首先进行静力试验，用较小的电流将电机定位在d轴上，忽略交轴磁链，由式(19)可得

由式(20)可以得出，当转子位置角0且等效励磁电流之和(id1+if)为常数时，悬浮力F24与悬浮电流直轴分量id2成正比，悬浮力F24与交轴分量iq2成正比。对电机轴分别施加与方向的外力，可以测得相应的悬浮电流，试验结果如图11所示。

经计算，永磁体的磁链为0.942Wb，则根据式(19)以及表3中的电感系数，可以得出样机单位电流的悬浮力为38.59N/A。图11(a)、(b)中，拟合曲线的斜率分别为32.21N/A和33.67N/A，与解析结果基本吻合。

利用表3所示的解析结果进行悬浮试验，结果如图12所示。图中，从上至下依次为转子转速、悬浮电流id2与iq2以及转子位移r与r。可以看出，在初始加速阶段，转子沿辅助轴承旋转；而后突加悬浮电流，转子迅速移动到电机中心，并保持稳定悬浮；直至达到给定转速后，转子位移始终保持在50m以内。试验结果验证了多相永磁无轴承电机模型的可行性和有效性。

5结论

本文利用改进绕组函数法，详细分析了影响多相永磁无轴承电机转矩自感、悬浮自感及两者之间互感的三种谐波函数，进而得出了适用于凸极转子与隐极转子结构的2-4型与4-2型多相永磁无轴承电机的电感与悬浮力模型。由于转子极数越少，凸极转子所造成的各向异性越明显。所以，隐极无轴承电机的电感与悬浮力模型最为简单，而2-4型凸极无轴承电机的电感与悬浮力模型最为复杂。在一台5相2-4型表贴式永磁无轴承电机上所做的静力试验与悬浮试验验证了电感与悬浮力模型的正确性与有效性，为进一步研究多相无轴承电机的基础理论与共性规律提供了理论参考。另外，本文所得到的电感与悬浮力模型对采用双套绕组的无轴承电机也具有参考价值。

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